Расчет аналогового нормированного ФНЧ Чебышева второго рода

Содержание

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница проекта на GitVerse

Исходные данные для расчета нормированного ФНЧ Чебышева второго рода

В данном разделе мы рассмотрим расчет передаточной функции $H\!\left( s \right)$ аналогового нормированного ФНЧ Чебышева второго рода (инверсный фильтр Чебышева) по заданным параметрам квадрата АЧХ $|H(j\omega)|^2$ , показанным на рисунке 1.

Параметры квадрата АЧХ нормированного ФНЧ Чебышева второго рода

Рисунок 1. Параметры квадрата АЧХ $|H(j \omega)|^2$ нормированного ФНЧ Чебышева второго рода

В отличие от фильтров Чебышева первого рода, инверсные фильтры Чебышева обладают гладкой АЧХ в полосе пропускания и обеспечивают равноволновые пульсации в полосе заграждения с амплитудой G_s .

Также важно отметить, что нормированный ФНЧ Чебышева второго рода на частоте $\omega = 1$ рад/с обеспечивает подавление сигнала в G_s^2 раз по мощности, в отличии от рассмотренных выше нормированных ФНЧ Баттерворта и Чебышева первого рода.

Основные соотношения связывающие параметры квадрата АЧХ нормированного ФНЧ Чебышева второго рода приведены на рисунке 1.

Аппроксимация квадрата АЧХ нормированного ФНЧ Чебышева второго рода представляется в виде:

(1)

где ${{C}_{N}}\left( \omega \right)=\cos \left( N\arccos \left( \omega \right) \right)$ – многочлен Чебышева порядка первого рода

Порядок нормированного ФНЧ Чебышева второго рода, как и порядок нормированного ФНЧ Чебышева первого рода рассчитывается из уравнения

(2)

решение которого имеет вид:

(3)

Исходными данными для расчета нормированного ФНЧ Чебышева второго рода служат: частота среза ${{\omega }_{p}}$ , переходная полоса, задаваемая ${{\omega }_{s}} = 1$ рад/с, допустимое искажение в полосе пропускания ${{R}_{p}}$ (дБ) и требуемое подавление в полосе заграждения ${{R}_{s}}$ (дБ).

На первом шаге рассчитываются параметры ${{\varepsilon }_{p}}$ и ${{\varepsilon }_{s}}$ , после чего производится оценка требуемого порядка фильтра согласно выражению (3) при округлении до бо́льшего целого значения. Для расчета передаточной функции H(s) необходимо найти выражения для нулей и полюсов квадрата модуля передаточной характеристики |H(s)|^2 нормированного ФНЧ Чебышева второго рода.

Нули и полюсы квадрата модуля передаточной характеристики нормированного ФНЧ Чебышева второго рода

В отличие от нормированного ФНЧ Чебышева первого рода, |H(s)|^2 нормированного ФНЧ Чебышева второго рода имеет нули, которые находятся из уравнения:

(4)

Комплексный коэффициент передачи $H(j\omega)$ есть сечение передаточной характеристики H(s)

, $s = \sigma+j\omega$ , плоскостью $\sigma = 0$ . Тогда $s = j\omega$ и в уравнение (4) можно подставить $\omega = s/j$ :

(5)

Из (5) можно получить выражение для нулей ${{\zeta}_{n}}$ квадрата модуля |H(s)|^2

нормированного ФНЧ Чебышева второго рода:

(6)

Нули нормированного ФНЧ Чебышева второго рода всегда чисто мнимые и по модулю больше единицы. Заметим, что в выражении (6) индексация

ограничена

, из-за периодичности функции косинуса. Кроме того из анализа (6) следует, что все нули квадрата модуля передаточной характеристики |H(s)|^2

имеют кратность равную двум. Это означает, что среди

нулей ${{\zeta}_{n}}$ , имеется всего

различных значений и каждый ноль повторяется два раза.

Для расчета полюсов квадрата модуля передаточной характеристики |H(s)|^2 приравняем знаменатель (1) к нулю:

(7)

Выражение (7) можно представить в виде произведения комплексно-сопряженных множителей:

(8)

Уравнение (8) можно переписать:

(9)

Теперь необходимо решить уравнение (9) относительно

. Для этого введем обозначение

(10)

тогда

(11)

или с учетом соотношения

(12)

можно записать

(13)

Приравняем реальные и мнимые части в левой и правой частях уравнения (13) и получим систему:

(14)

Гиперболический косинус $\operatorname{ch}\left( N\beta \right)$ никогда не обращается в ноль. Поэтому первое уравнение (14) можно записать:

(15)

Из второго уравнения, с учетом (15) можно заметить, что $\sin \left( N\alpha_n \right)=\pm 1$ и тогда

(16)

Таким образом, мы рассчитали значения $\alpha_n$ и $\beta$ в выражении (10). Теперь необходимо решить уравнение (10) относительно

(17)

откуда, с учетом выражения

(18)

можно записать:

(19)

Тогда окончательно полюсы $\rho_n$ квадрата модуля передаточной функции |H(s)|^2

нормированного ФНЧ Чебышева второго рода можно записать с учетом (15) и (16):

(20)

Расположение нулей и полюсов квадрата модуля |H(s)|^2 передаточной функции нормированного ФНЧ Чебышева второго рода на комплексной плоскости представлено на рисунке 2 для фильтров 8-го (слева) и 9-го (справа) порядков при подавлении в полосе заграждения R_s = 40 дБ.

Нули |H(s)|^2 нормированного ФНЧ Чебышева второго рода (обозначены кружками) расположены на мнимой оси $j\omega$ , а полюсы (крестики) – на замкнутой параметрической кривой $\sigma(t) + j\omega(t)$ :

(21)

где

– параметр кривой, а $\beta$ зависит от порядка фильтра

и уровня подавления в полосе заграждения, определяемого параметром $\varepsilon_s$ согласно (16).

Параметрические кривые (21) показаны на рисунке 2 непрерывными и пунктирными линиями для различного уровня подавления R_s от 20 до 80 дБ при фиксированном порядке фильтра (левые кривые для N=8 , правые для N=9 ).

Расположение нулей и полюсов квадрата модуля передаточной функции нормированного ФНЧ Чебышева второго рода 8-го и 9-го порядков

Рисунок 2. Расположение нулей и полюсов квадрата модуля передаточной функции |H(s)|^2

нормированного ФНЧ Чебышева второго рода 8-го и 9-го порядков

Из анализа рисунка 2 можно заметить, что |H(s)|^2 фильтра нечетного порядка имеет чисто вещественные полюсы, а все полюсы фильтра четного порядка образуют комплексно-сопряженные пары.

Передаточная характеристика нормированного ФНЧ Чебышева второго рода

Для получения передаточной характеристики H(s) физически реализуемого фильтра необходимо, чтобы все ее нули и полюсы располагались в левой полуплоскости , или на мнимой оси $j\omega$ . При этом нули и полюсы на мнимой оси должны быть простыми.

Тогда из всех нулей $\zeta_n$ квадрата модуля передаточной функции |H(s)|^2 нормированного ФНЧ Чебышева второго рода необходимо выбрать различных нулей кратности один, а из полюсов необходимо выбрать только те, у которых ${{\sigma }_{n}}<0$ . Тогда все полюсы $\rho_n$ нормированного ФНЧ Чебышева второго рода можно представить в виде:

(22)

Передаточная характеристика H(s)

может быть записана в виде:

(23)

Для представления передаточной характеристики H(s)

нормированного ФНЧ Чебышева второго рода при помощи биквадратной формы заметим, что в случае нечетного порядка

при $n={\left( N+1 \right)}/{2}\;$ , ${{\alpha }_{n}}={\pi }/{2}\;$ , получим некратный вещественный полюс $\sigma_0 = -1/\operatorname{sh(\beta)}$ . При остальных

полюсы будут комплексно-сопряженные.

Тогда для любого N=2L+r , где может принимать значения 0 или 1 передаточную функцию H(s) нормированного ФНЧ Чебышева второго рода можно представить через биквадратную форму:

(24)

где

(25)

Нормировочный коэффициент передачи G_0

на нулевой частоте фильтра при s=0

равен:

(26)

На рисунке 3 показаны квадрат АЧХ $\left| H\left( j\omega \right) \right|^2$ , ФЧХ $\Phi \left( \omega \right)$ , групповая задержка $\tau \left( \omega \right)$ и временна́я импульсная характеристика h(t)

нормированных ФНЧ Чебышева второго рода 8-го (сплошная линия) и 9-го (пунктирная линия) порядков, с подавлением в полосе заграждения R_s =40

дБ. Нули и полюсы данных фильтров показаны на рисунке 2.

Рисунок 3. Характеристики нормированного ФНЧ Чебышева второго рода 8-го (сплошная линия) и 9-го (пунктирная линия) порядков

Из рисунка 3 хорошо видно, что квадрат АЧХ $|H(j\omega)|^2$ фильтра Чебышева второго рода имеет равноволновые колебания в полосе заграждения, обеспечивая тем самым заданный уровень подавления R_s дБ. При этом можно заметить, что квадрат АЧХ $|H(j\omega)|^2$ при четном порядке фильтра при увеличении частоты стремится к значению ${G}_{s}^2$ , или -R_s дБ, а при нечетном порядке фильтра – к нулю (к бесконечному подавлению).

Пример расчета нормированного ФНЧ Чебышева второго рода

Рассчитаем нормированный ФНЧ Чебышева второго рода исходя из следующих параметров квадрата АЧХ:

(27)

Обратим внимание, что в спецификации (27) параметр $\omega_p < 1$ , а $\omega_s =1$ рад/с.

Шаг 1. Рассчитаем параметры ${\varepsilon }_{p}$ и ${\varepsilon }_{s}$ :

(28)

Шаг 2. Рассчитаем порядок фильтра удовлетворяющий заданным параметрам АЧХ согласно выражению (3):

(29)

Округляем в бо́льшую сторону, таким образом порядок фильтра N=5

Шаг 3. Рассчитываем передаточную характеристику H(s) на основе биквадратной формы согласно выражению (24). Для этого произведем предварительные расчеты.

Порядок фильтр N=5=2L+r , откуда L=2 , r=1 . Параметр $\beta$ равен:

(30)

Параметры ${{\alpha }_{n}}$ , где

принимает значения 1 и 2 равны:

(31)

Тогда свободные члены числителя передаточной функции H(s)

равны:

(32)

Рассчитаем параметры ${{\sigma }_{n}}$ и ${{\omega }_{n}}$ , а также рассчитаем ${\sigma }_{n}^{2}+{\omega }_{n}^{2}$ :

(33)

Обратим внимание, что r=1

и требуется также рассчитать некратный вещественный полюс ${{\sigma }_{0}}$ :

(34)

Рассчитаем нормировочный коэффициент G_0

согласно выражению (26):

(35)

Теперь можно рассчитать передаточную характеристику H(s)

нормированного ФНЧ Чебышева второго рода:

(36)

На этом расчет передаточной функции H(s)

нормированного ФНЧ Чебышева второго рода можно считать оконченным.

Подставив в выражение (36) для передаточной характеристики $s=j\omega$ , получим комплексный коэффициент передачи $H\left( j\omega \right)$ из которого можно рассчитать квадрат АЧХ $|H(j\omega)|^2$ , ФЧХ $\Phi(\omega)$ , групповую задержку $\tau(\omega)$ и временну́ю импульсную характеристику h(t) фильтра.

На рисунке 4 показаны характеристики рассчитанного ФНЧ Чебышева второго рода.

Рисунок 4. Характеристики рассчитанного нормированного ФНЧ Чебышева второго рода

Выводы

В данном разделе мы рассмотрели расчет аналогового нормированного ФНЧ Чебышева второго рода.

Были получены выражения для нулей и полюсов передаточной характеристики H(s) нормированного ФНЧ Чебышева второго рода, показано геометрическое расположение нулей и полюсов на комплексной плоскости .

Приведено выражение для передаточной характеристики нормированного ФНЧ Чебышева второго рода на основе биквадратной формы для четного и нечетного порядков фильтра.

Показан вид АЧХ фильтра Чебышева второго рода и рассмотрен пример расчета фильтра по заданным параметрам АЧХ.

Список литературы

[1] Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры. Москва, Мир, 1982, 592 с.

[2] Orfanidis S.J. Lecture notes on elliptic filter design. Rutgers University, 2006. [PDF]

[3] Orfanidis S.J. Introduction to Signal Processing. Rutgers University, 2010. [PDF]

[4] Оппенгейм А., Шаффер Р. Цифровая обработка сигналов. Москва, Техносфера, 2012. 1048 с. ISBN 978-5-94836-329-5

[5] Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов СПб, Питер, 2002.

Последнее изменение страницы: 27.08.2025 (10:55:32)

Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14