Расчет аналогового нормированного ФНЧ Чебышева первого рода

Содержание

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница проекта на GitVerse

Исходные данные для расчета нормированного ФНЧ Чебышева первого рода

В данном разделе мы рассмотрим расчет нормированного ФНЧ Чебышева первого рода по заданным параметрам квадрата АЧХ, показанным на рисунке 1. В отличии от фильтров Баттерворта, фильтры Чебышева первого рода имеют равноволновые пульсации квадрата АЧХ в полосе пропускания.

Рисунок 1. Параметры квадрата АЧХ аналогового нормированного ФНЧ Чебышева первого рода

Аппроксимация квадрата АЧХ нормированного ФНЧ Чебышева первого рода представляется в виде:

(1)

где ${{C}_{N}}\left( \omega \right)=\cos \big( N\arccos \left( \omega \right) \big)$ – многочлен Чебышева первого рода.

Порядок нормированного ФНЧ Чебышева первого рода рассчитывается из уравнения:

(2)

решение которого имеет вид:

(3)

где $\operatorname{arch}\left( \bullet \right)$ - арккосинус гиперболический.

Все вышеприведенные соотношения уже были рассмотрены в предыдущих разделах. Мы привели их еще раз без пояснений, и они нам будут необходимы при расчете нормированного ФНЧ Чебышева первого рода.

Исходными данными для расчета нормированного ФНЧ Чебышева первого рода служат: частота среза ${{\omega }_{p}} = 1$ рад/с, переходная полоса, задаваемая ${{\omega }_{s}}$ , допустимое искажение в полосе пропускания ${{R}_{p}}$ и требуемое подавление в полосе заграждения ${{R}_{s}}$ .

На первом шаге рассчитываются параметры ${{\varepsilon }_{p}}$ и ${{\varepsilon }_{s}}$ (смотри рисунок 1), после чего производится расчет требуемого порядка фильтра согласно выражению (3) при округлении до бо́льшего целого значения.

Для расчета передаточной функции H(s) необходимо найти выражения для нулей и полюсов квадрата модуля передаточной характеристики |H(s)|^2 нормированного ФНЧ Чебышева первого рода.

Нули и полюсы квадрата модуля передаточной характеристики нормированного ФНЧ Чебышева первого рода

Предварительно вспомним некоторые свойства тригонометрических функций комплексного переменного. Рассмотрим косинус комплексной переменной z=x+jy . Представим как косинус суммы и получим:

(4)

Учтем, что тригонометрические функции связаны с гиперболическими следующими соотношениями:

(5)

Тогда (4), с учетом выражения (5):

(6)

Соотношение (6) мы будем широко использовать в дальнейшем.

Из выражения (1) можно заключить, что нормированный ФНЧ Чебышева первого рода не имеет конечных нулей, так как ни при каких комплексных значениях $\omega$ квадрат модуля передаточной функции фильтра Чебышева (1) не обращается в ноль.

Для расчета полюсов модуля квадрата передаточной характеристики |H(s)|^2 нормированного ФНЧ Чебышева первого рода приравняем знаменатель (1) к нулю:

(7)

Комплексный коэффициент передачи $H(j\omega)$ есть сечение передаточной характеристики H(s) , $s = \sigma+j\omega$ плоскостью $\sigma = 0$ . Тогда $s = j\omega$ и уравнение (7) можно переписать к виду:

(8)

Представим (8) в виде произведения комплексно-сопряженных множителей:

(9)

Уравнение (9) можно переписать:

(10)

Для расчета полюсов нормированного ФНЧ Чебышева первого рода необходимо решить уравнение (10) относительно

. Для этого введем обозначение

(11)

тогда

(12)

или, с учетом соотношения (6), можно записать:

(13)

Приравняем реальные и мнимые части в левой и правой частях уравнения (13) и получим систему:

(14)

Гиперболический косинус $\operatorname{ch}\left( N\beta \right)$ никогда не обращается в ноль. Поэтому первое уравнение (14) можно записать:

(15)

Из второго уравнения (14), с учетом (15) можно заметить, что $\sin \left( N\alpha_n \right)=\pm 1$ и тогда

(16)

Таким образом, мы рассчитали значения $\alpha_n$ и $\beta$ в выражении (11). Теперь необходимо решить уравнение (11) относительно

(17)

откуда с учетом выражения (6) можно записать:

(18)

Тогда окончательно полюсы квадрата модуля передаточной характеристики |H(s)|^2

нормированного ФНЧ Чебышева первого рода можно записать с учетом (15) и (16):

(19)

Для анализа расположения полюсов нормированного ФНЧ Чебышева рассмотрим соотношение:

(20)

Тогда вспомнив каноническое уравнение эллипса:

(21)

можно сделать вывод о том, что полюсы квадрата модуля передаточной характеристики |H(s)|^2

нормированного ФНЧ Чебышева первого рода расположены на эллипсе с осями:

(22)

Графически это показано на рисунке 2 для нечетного N=3

и для четного N=4

порядков фильтра.

Расположение полюсов нормированного ФНЧ Чебышева первого рода при (слева) и (справа)

Рисунок 2. Расположение полюсов |H(s)|^2

нормированного ФНЧ Чебышева первого рода при N=3

(слева) и

(справа)

Крестиками показаны полюсы квадрата модуля передаточной характеристики нормированного ФНЧ Чебышева первого рода. Также показана внутренняя окружность радиуса {a}/{2} и полюсы нормированного ФНЧ Баттерворта при N=3 и N=4 и неравномерности фильтра Баттерворта равной ${{\varepsilon }_{p}}={{\left( {2}/{a} \right)}^{N}}$ .

Аналогично показана внешняя окружность радиуса {b}/{2} и полюсы нормированного ФНЧ Баттерворта при N=3 и N=4 и при неравномерности фильтра Баттерворта равной ${{\varepsilon }_{p}}={{\left( {2}/{b} \right)}^{N}}$ .

Пунктирными линиями показано геометрическое расположение полюсов |H(s)|^2 нормированного ФНЧ Чебышева первого рода, относительно полюсов «большого» и «малого» фильтров Баттерворта.

Важно отметить, что если малую ось эллипса приближать к большой оси, то фильтр Чебышева будет приближаться к фильтру Баттерворта. Если эллипс на котором расположены полюсы фильтра Чебышева превратить в окружность (a=b) , то фильтр Чебышева автоматически переходит в фильтр Баттерворта:

(23)

Таким образом, при уменьшении неравномерности в полосе пропускания фильтра Чебышева первого рода, его характеристики приближаются к характеристикам фильтра Баттерворта.

Передаточная характеристика нормированного ФНЧ Чебышева первого рода

Для получения передаточной характеристики H(s) физически реализуемого фильтра необходимо, чтобы все его нули и полюсы располагались в левой полуплоскости или на мнимой оси $j\omega$ . Тогда из всех полюсов квадрата модуля передаточной функции |H(s)|^2 нормированного ФНЧ Чебышева первого рода (19) необходимо выбрать только те полюсов, у которых ${{\sigma }_{n}}<0$ , тогда все полюсы $\rho_n$ передаточной характеристики H(s) нормированного ФНЧ Чебышева первого рода можно представить в виде:

(24)

Передаточная характеристика H(s)

нормированного ФНЧ Чебышева первого рода будет иметь вид:

(25)

Для представления передаточной характеристики H(s)

нормированного ФНЧ Чебышева первого рода при помощи биквадратной формы заметим, что в случае нечетного порядка

при $n={\left( N+1 \right)}/{2}$ получим ${{\alpha }_{n}}={\pi }/{2}$ некратный вещественный полюс (смотри рисунок 2). Остальные полюсы будут образовывать комплексно-сопряженные пары.

Тогда для любого N=2L+r , где может принимать значения 0 или 1 передаточную функцию H(s) нормированного ФНЧ Чебышева первого рода можно записать как:

(26)

Коэффициент передачи G_0

на нулевой частоте фильтра при s=0

равен:

(27)

Кроме того, при нормировке необходимо учесть, что при нечетных порядках фильтра, многочлен Чебышева ${{C}_{N}}\left( 0 \right)=0$ и соответственно ${{\left| H\left( j\cdot 0 \right) \right|}^{2}}=1$ согласно выражению (1), а при четных порядках фильтра, многочлен Чебышева ${{C}_{N}}\left( 0 \right)=1$ и соответственно ${{\left| H\left( j\cdot 0 \right) \right|}^{2}}={1}/{\left( 1+{{\varepsilon }_{p}}^{2} \right)} = G_p^2\;$ .

Таким образом, при четном порядке фильтра , его коэффициент передачи на нулевой частоте должен быть меньше единицы и равен:

(28)

С учетом (28), передаточная функция H(s)

нормированного ФНЧ Чебышева первого рода для любого порядка N=2L+r

имеет вид:

(29)

На рисунке 3 показаны квадрат АЧХ $\left| H\left( j\omega \right) \right|^2$ , ФЧХ $\Phi \left( \omega \right)$ , групповая задержка $\tau \left( \omega \right)$ и временна́я импульсная характеристика h(t)

нормированных ФНЧ Чебышева первого рода 4-го (сплошная линия) и 5-го (пунктирная линия) порядков с неравномерностью квадрата АЧХ в полосе пропускания 2 дБ.

Рисунок 3. Характеристики нормированного ФНЧ Чебышева первого рода 4-го (сплошная) и 5-го (пунктирная) порядков

Из графиков хорошо видно, что квадрат АЧХ $|H(j\omega)|^2$ фильтра Чебышева имеет равноволновые колебания в полосе пропускания и монотонно убывает в полосе заграждения.

Пример расчета нормированного ФНЧ Чебышева первого рода

Рассчитаем нормированный ФНЧ Чебышева первого рода исходя из следующих параметров квадрата АЧХ $|H(j \omega)|^2$ :

(30)

Шаг 1. Рассчитаем параметры $\varepsilon_p$ , $\varepsilon_s$ и G_p

(31)

Шаг 2. Рассчитаем порядок фильтра удовлетворяющий заданным параметрам квадрата АЧХ согласно выражению (3):

(32)

Округляем в бо́льшую сторону, таким образом порядок фильтра N=4

Шаг 3. Рассчитываем передаточную характеристику H(s) на основе биквадратной формы согласно выражению (29). Для этого произведем предварительные расчеты.

Порядок фильтра N=4=2L+r , откуда L=2 , r=0 . Параметр $\beta$ равен:

(33)

Параметры ${{\alpha }_{n}}$ , где

принимает значения 1 и 2 равны:

(34)

Рассчитаем параметры ${{\sigma }_{n}}$ и ${{\omega }_{n}}$ , а также рассчитаем ${\sigma }_{n}^{2}+{\omega }_{n}^{2}$ :

(35)

Обратим внимание, что r=0

и рассчитывать параметр ${{\sigma }_{0}}$ не требуется. Теперь можно рассчитать передаточную характеристику фильтра:

(36)

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получим передаточную характеристику в окончательном виде:

(37)

На этом расчет нормированного ФНЧ Чебышева первого рода можно считать оконченным.

Подставив в выражение для передаточной характеристики $s=j\omega$ получим комплексный коэффициент передачи $H\left( j\omega \right)$ , из которого можно рассчитать квадрат АЧХ $|H(j \omega)|^2$ , ФЧХ $\Phi(\omega)$ , групповую задержку $\tau(\omega)$ и временну́ю импульсную характеристику h(t) , графики которых показаны на рисунке 4

Рисунок 4. Квадрат АЧХ, ФЧХ, групповая задержка и импульсная характеристика рассчитанного фильтра Чебышева первого рода

Выводы

В данном разделе мы рассмотрели расчет аналогового нормированного ФНЧ Чебышева первого рода. Были получены выражения для нулей и полюсов нормированного ФНЧ Чебышева первого рода, показано геометрическое расположение нулей и полюсов на комплексной плоскости.

Приведено выражение для передаточной характеристики H(s) нормированного ФНЧ Чебышева первого рода на основе биквадратной формы для четного и нечетного порядков фильтра. Показан вид АЧХ фильтра Чебышева первого рода и рассмотрен пример расчета фильтра по заданному коридору АЧХ.

Список литературы

[1] Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры. Москва, Мир, 1982, 592 с.

[2] Orfanidis S.J. Lecture notes on elliptic filter design. Rutgers University, 2006. [PDF]

[3] Orfanidis S.J. Introduction to Signal Processing. Rutgers University, 2010. [PDF]

[4] Оппенгейм А., Шаффер Р. Цифровая обработка сигналов. Москва, Техносфера, 2012. 1048 с. ISBN 978-5-94836-329-5

[5] Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов СПб, Питер, 2002.

Последнее изменение страницы: 27.08.2025 (10:55:20)

Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14