Дискретное преобразование Фурье

Содержание

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница проекта на GitVerse

Вводные замечания

Дискретно-временное преобразование Фурье, рассмотренное в предыдущем параграфе, позволяет рассчитать спектр $S_{\text{д}}(\omega)$ дискретного сигнала $s_{\text{д}}(t)$ . При этом $S_{\text{д}}(\omega)$ представляет собой $\Omega$ -периодическую функцию частоты, где $\Omega = 2\pi / T$ — циклическая частота дискретизации сигнала (рад/c), — интервал взятия отсчетов сигнала во времени в единицах секунд.

Однако для задач цифровой обработки гораздо удобнее было бы иметь как дискретный сигнал, так и дискретный спектр данного сигнала, который можно сохранить в памяти цифрового устройства.

В данном разделе мы произведем переход к дискретному преобразованию Фурье (ДПФ) — одного из распространенных инструментов спектрального анализа сигналов, широко применяемого в самых разных отраслях науки и техники.

Повторение сигнала во времени. Дискретное преобразование Фурье

Пусть исходный дискретный сигнал $s_{\text{д}}(t)$ ограничен во времени и содержит ненулевых отсчетов, взятых с интервалом дискретизации с. Данное предположение на практике всегда выполняется, потому что мы не можем получить бесконечное число отсчетов сигнала. Тогда длительность дискретного сигнала равна cекунд, и $s_{\text{д}}(t)$ можно записать как:

(1)

где $\delta(t)$ — дельта-функция Дирака.

Известно что дискретным, или, как еще говорят, линейчатым спектром, обладают периодические сигналы. При этом дискретный спектр получается путем разложения в ряд Фурье периодического сигнала. Значит, чтобы получить дискретный спектр, надо сделать исходный дискретный сигнал периодическим путем повторения данного сигнала во времени бесконечное количество раз с некоторым периодом , кратным интервалу дискретизации . Мы можем осуществить такое периодическое повторение сигнала (1), потому что его длительность конечна.

Графически процесс повторения сигнала во времени представлен на рисунке 1.

Рисунок 1. Повторение сигнала во времени с периодом

Повторять сигнал можно с различным периодом , однако необходимо, чтобы период повторения был больше или равен длительности сигнала $P \ge N T$ , чтобы сигнал и его периодические повторения не перекрывались во времени.

При этом минимальный период повторения сигнала, при котором сигнал и его повторения не накладываются друг на друга, равен $P_{\text{min}} = NT$ секунд.

Повторение сигнала с минимальным периодом $P_{\text{min}} = N T$ показано на рисунке 2.

Рисунок 2. Повторение сигнала с минимальным периодом $P_{\text{min}} = N T$

Дискретное преобразование Фурье

При разложении периодически повторенного сигнала (1) в ряд Фурье получим дискретный спектр $S(k \Delta \omega)$ , состоящий из гармоник кратных $\Delta\omega = 2\pi/P_{\text{min}} = 2\pi/(NT)$ рад/с, — произвольное целое число. Тогда коэффициенты разложения в ряд Фурье $S(k \Delta \omega)$ равны:

(2)

Подставим (1) в (2):

(3)

поменяем местами операции суммирования и интегрирования и применим фильтрующее свойство дельта-функции:

(4)

Учтем, что $\Delta \omega T = 2\pi / N$ , тогда окончательно можно записать:

(5)

Заметим, что показатели комплексных экспонент в выражении (5) не зависят от интервала дискретизации

, а только от индексов

, указывающих порядковый номер временно́го и спектрального отсчета. Это очень полезное свойство, которое позволяет реализовать универсальную программу расчета для любой частоты дискретизации, используя лишь индексы

Выражение (5) справедливо для любого целого , однако вспомним, что исходный сигнал $s_{\text{д}}(t)$ был дискретным, поэтому спектр $S(k \Delta \omega)$ является периодическим и повторяется каждые отсчетов. Это очень легко проверить если подставить в (5) вместо , например k+N , тогда:

(6)

Таким образом, нет необходимости рассчитывать спектральные отсчеты для всех индексов

, а достаточно рассчитать лишь

спектральных отсчетов $S (k \Delta \omega)$ , $k = 0\ldots N-1$ .

Выражение (5) является дискретным преобразованием, которое ставит в соответствие отсчетам исходного дискретного сигнала s(nT) , спектральных отсчетов $S(k \Delta \omega)$ на одном периоде повторения спектра.

Заметим, что (5) является именно спектром, а не спектральной плотностью, потому что мы получили $S(k \Delta \omega)$ как результат разложения в ряд Фурье. Это означает, что единицы измерения $S(k \Delta \omega)$ совпадают с единицами измерения исходного сигнала.

Если мы будем оперировать только с индексами входного сигнала и спектральных отсчетов (положив T = 1 ), то получим выражение дискретного преобразования Фурье:

(7)

Сделаем замечание. В литературе [1, 2, 3] выражение прямого ДПФ не содержит множителя 1/N

, в отличии от (7). Забегая вперед, скажем, что мы тоже перенесем этот множитель 1/N

в выражение обратного дискретного преобразования Фурье.

Обратное дискретное преобразование Фурье

При рассмотрении обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ) применим тот же прием, что мы использовали в предыдущем разделе при выводе формулы обратного дискретно-временного преобразования Фурье. Учтем, что ДПФ возвращает один период дискретного периодического спектра $S( k \Delta \omega \big)$ , где $k = 0\ldots N-1$ . Тогда дискретный спектр ДПФ на одном периоде можно записать используя дельта-функцию:

(8)

Спектр $S_{\text{дпф}}(\omega)$ является $\Omega$ -периодической функцией и может быть разложен в ряд Фурье вида:

(9)

где $\xi_m = 2\pi m / \Omega = mT$ имеет смысл временны́х отчетов, так как мы раскладываем в ряд функцию частоты, а $p(\xi_m)$ — коэффициенты разложения в ряд Фурье:

(10)

Подставим в (10) выражение (8):

(11)

Поменяем местами операторы интегрирования и суммирования и применим фильтрующее свойство дельта-функции:

(12)

Подставим в (12) выражение (5) для $S( k \Delta \omega)$ :

(13)

Поменяем порядок суммирования и объединим показатели экспонент:

(14)

Можно заметить, что сумма комплексных экспонент равна

(15)

При $n\neq -m$ , сумму комплексных экспонент можно рассматривать как сумму первых

членов геометрической прогрессии со знаменателем

(16)

и начальным членом равным b_0 = 1

Используя формулу суммы первых членов геометрической прогрессии [4, стр. 35] получим для $n\neq -m$ :

(17)

Тогда от суммы (14), с учетом (15)–(17), остается лишь одно слагаемое при n = -m

(18)

Возвращаясь к выражению (12), с учетом (18) можно окончательно записать:

(19)

Опустив $\Delta \omega$ и приняв T = 1

можно перейти к паре дискретных преобразований Фурье, которые оперируют только с индексами входного дискретного сигнала s(n)

и его спектра S(k)

(20)

Заметим, что в (20) мы ограничили индексы

значением

. На самом деле этого можно не делать, но из-за периодического характера сигнала и спектра их значения будут повторятся с периодом

Важно отметить, что на практике гораздо чаще требуется рассчитывать прямое ДПФ, чем обратное. Поэтому принято нормировочный множитель $\frac{1}{N}$ учитывать в обратном преобразовании, а не в прямом. Тогда пару ДПФ можно переписать в виде:

(21)

Именно в виде (21) принято записывать выражения прямого и обратного ДПФ.

Выводы

В данном разделе мы получили выражения для прямого и обратного дискретного преобразования Фурье. Было показано, что прямое ДПФ получается в результате разложения в ряд Фурье периодического дискретного сигнала. При этом периодичность сигнала получается в результате копирования во времени исходного сигнала конечной длительности.

Таким образом, ДПФ ставит в соответствие отсчетам дискретного сигнала, отсчетов дискретного спектра.

Спектр сигнала при этом является периодическим (потому что исходный сигнал дискретный), и является дискретным (потому что исходный сигнал периодический)

В следующих разделах мы рассмотрим:
Индексация и перестановка спектральных отсчетов ДПф
Свойства ДПФ

Смотри также

Представление периодических сигналов рядом Фурье
Дельта-функция Дирака и ее свойства
Дискретно-временное преобразование Фурье

Список литературы

[1] Оппенгейм А., Шаффер Р. Цифровая обработка сигналов. Москва, Техносфера, 2012. 1048 с. ISBN 978-5-94836-329-5

[2] Рабинер, Л., Гоулд, Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. Москва, Мир, 1978. 848 с.

[3] Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов СПб, Питер, 2002.

[4] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Москва, Наука, 1970, 720 с.

[5] Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов СПб, Питер, 2002.

Последнее изменение страницы: 27.08.2025 (10:52:34)

Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14